quinta-feira, 13 de março de 2008
Envie as suas propostas em breve!
Função exponencial
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita, normalmente, como exp(x) ou ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.
Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.
Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
ax = exlna
Para todo a > 0 e .
A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.
As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:
a0 = 1
a1 = a
ax + y = axay
axbx = (ab)x
Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:
Índice[esconder]
1 Função exponencial e equações diferenciais
2 Função exponencial no plano complexo
3 Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach
4 Mapa exponencial nas álgebras de Lie
5 Ver também
//
[editar] Função exponencial e equações diferenciais
A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:
Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.
A função exponencial então resolve a equação diferencial básica
e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.
[editar] Função exponencial no plano complexo
Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:
ez + w = ezew
e0 = 1
para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2πi que pode ser escrita como
ea + bi = ea(cosb + isinb)
onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: zw = ewlnz para todos os números complexos z e w.
Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.
É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.
[editar] Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach
A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos
ex + y = exey
se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)
e0 = 1
ex é inversível com inverso e-x
a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.
No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:
f(t) = etA
onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:
f(s + t) = f(s)f(t)
f(0) = 1
f'(t) = Af(t)
[editar] Mapa exponencial nas álgebras de Lie
O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas inversíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.
Função exponencial
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita, normalmente, como exp(x) ou ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.
Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.
Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
ax = exlna
Para todo a > 0 e .
A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.
As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:
a0 = 1
a1 = a
ax + y = axay
axbx = (ab)x
Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:
Índice[esconder]
1 Função exponencial e equações diferenciais
2 Função exponencial no plano complexo
3 Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach
4 Mapa exponencial nas álgebras de Lie
5 Ver também
//
[editar] Função exponencial e equações diferenciais
A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:
Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.
A função exponencial então resolve a equação diferencial básica
e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.
[editar] Função exponencial no plano complexo
Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:
ez + w = ezew
e0 = 1
para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2πi que pode ser escrita como
ea + bi = ea(cosb + isinb)
onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: zw = ewlnz para todos os números complexos z e w.
Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.
É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.
[editar] Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach
A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos
ex + y = exey
se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)
e0 = 1
ex é inversível com inverso e-x
a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.
No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:
f(t) = etA
onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:
f(s + t) = f(s)f(t)
f(0) = 1
f'(t) = Af(t)
[editar] Mapa exponencial nas álgebras de Lie
O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas inversíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.
Potênciação
Potênciação
fechaBanner = function() { $('#lembrete').hide(); return; }
var f = new Flash("/img/lembrete.swf?texto=Voc%C3%AA+pode+trocar+informa%C3%A7%C3%B5es+ou+apenas+bater+um+papo+pelo+chat%21", "LembreteAnimado", "200", "215");
f.addParameter("showMenu", "false");
f.addParameter("wmode", "transparent");
f.write('lembrete');
Função ExponencialRevisão sobre potenciação 1. Potência com expoente natural Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an que é igual ao produto de n fatores iguais a a. an = a . a . a... a, onde: a = base n = expoente Exemplos: 44 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256 (-4)3 = (-4) . (-4) . (-4) = -64 Observação: Para n = 1, temos: a1 = a Exemplo: 61 = 6 Propriedades Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas: Observação: para expoentes iguais a zero, convencionou-se que a a0 = 1, com a diferente de zero. 2. Potência com expoente inteiro negativo 3. Potência com expoente racional fracionário Função exponencial Dado um número real a (a > 0 e a 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f de *+ por f(x) = ax ou y = ax. Exemplos: Gráfico da função exponencial Com relação ao gráfico da função exponencial, temos: a) D(f) = , CD(f) = *+ e Im(f) = *+ b) O gráfico é uma curva exponencial, que passa por (0, 1). c) O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV. d) Para a > 1 a função é crescente.e) Para 0 < a < 1, função é decrescente:
fechaBanner = function() { $('#lembrete').hide(); return; }
var f = new Flash("/img/lembrete.swf?texto=Voc%C3%AA+pode+trocar+informa%C3%A7%C3%B5es+ou+apenas+bater+um+papo+pelo+chat%21", "LembreteAnimado", "200", "215");
f.addParameter("showMenu", "false");
f.addParameter("wmode", "transparent");
f.write('lembrete');
Função ExponencialRevisão sobre potenciação 1. Potência com expoente natural Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an que é igual ao produto de n fatores iguais a a. an = a . a . a... a, onde: a = base n = expoente Exemplos: 44 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256 (-4)3 = (-4) . (-4) . (-4) = -64 Observação: Para n = 1, temos: a1 = a Exemplo: 61 = 6 Propriedades Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas: Observação: para expoentes iguais a zero, convencionou-se que a a0 = 1, com a diferente de zero. 2. Potência com expoente inteiro negativo 3. Potência com expoente racional fracionário Função exponencial Dado um número real a (a > 0 e a 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f de *+ por f(x) = ax ou y = ax. Exemplos: Gráfico da função exponencial Com relação ao gráfico da função exponencial, temos: a) D(f) = , CD(f) = *+ e Im(f) = *+ b) O gráfico é uma curva exponencial, que passa por (0, 1). c) O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV. d) Para a > 1 a função é crescente.e) Para 0 < a < 1, função é decrescente:
Assinar:
Postagens (Atom)